Đại số tuyến tính Ví dụ

$2 + 2 i$

Bước 1

Tính khoảng cách từ $(a, b)$ đến gốc tọa độ bằng công thức $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{2^{2} + 2^{2}}$

Bước 2

Rút gọn $\sqrt{2^{2} + 2^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$r = \sqrt{4 + 2^{2}}$

Bước 2.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$r = \sqrt{4 + 4}$

Bước 2.3

Cộng $4$ và $4$ .

$r = \sqrt{8}$

Bước 2.4

Viết lại $8$ ở dạng $2^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$r = \sqrt{4 (2)}$

Bước 2.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$r = \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Bước 2.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$r = 2 \sqrt{2}$

Bước 3

Tính góc quy chiếu $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{2}{2} |)$

Bước 4

Rút gọn $\arctan (| \frac{2}{2} |)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Chia $2$ cho $2$ .

$θ̂ = \arctan (| 1 |)$

Bước 4.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$θ̂ = \arctan (1)$

Bước 4.3

Giá trị chính xác của $\arctan (1)$ là $\frac{π}{4}$ .

$θ̂ = \frac{π}{4}$

Bước 5

Điểm này nằm trong góc phần tư thứ nhất vì cả $x$ và $y$ đều dương. Các góc phần tư được đánh dấu theo chiều ngược chiều kim đồng hồ, bắt đầu từ góc phía trên bên phải trước.

Góc phần tư $1$

Bước 6

$(a, b)$ nằm trong góc phần tư thứ nhất. $θ = θ̂$

$θ = \frac{π}{4}$

Bước 7

Dùng công thức để tìm các nghiệm của số phức.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Bước 8

Thay $r$ , $n$ , và $θ$ vào công thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp ${(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}}$ và $\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π k}{3}$ .

$c i s \frac{{(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)}{3}$

Bước 8.2

Kết hợp $c$ và $\frac{{(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)}{3}$ .

$i s \frac{c ({(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))}{3}$

Bước 8.3

Kết hợp $i$ và $\frac{c ({(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))}{3}$ .

$s \frac{i (c ({(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)))}{3}$

Bước 8.4

Kết hợp $s$ và $\frac{i (c ({(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)))}{3}$ .

$\frac{s (i (c ({(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))))}{3}$

Bước 8.5

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{s (i (c ({(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k))))}{3}$

Bước 8.5.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{s (i (c {(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k)))}{3}$

Bước 8.5.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{s (i (c {(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}}) (\frac{π}{4} + 2 π k))}{3}$

Bước 8.5.4

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{s (i c {(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k))}{3}$

Bước 8.5.5

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{s (i c {(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}}) (\frac{π}{4} + 2 π k)}{3}$

Bước 8.5.6

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{s (i c) {(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k)}{3}$

Bước 8.5.7

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{s i c {(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k)}{3}$

Bước 9

Thay $k = 0$ vào công thức và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 \sqrt{2}$ .

$k = 0 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (0)}{3})$

Bước 9.2

Nhân $2 π (0)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Nhân $0$ với $2$ .

$k = 0 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 0 π}{3})$

Bước 9.2.2

Nhân $0$ với $π$ .

$k = 0 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 0}{3})$

Bước 9.3

Cộng $\frac{π}{4}$ và $0$ .

$k = 0 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4}}{3})$

Bước 9.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$k = 0 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Bước 9.5

Nhân $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.1

Nhân $\frac{π}{4}$ với $\frac{1}{3}$ .

$k = 0 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π}{4 \cdot 3})$

Bước 9.5.2

Nhân $4$ với $3$ .

$k = 0 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π}{12})$

Bước 10

Thay $k = 1$ vào công thức và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 \sqrt{2}$ .

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (1)}{3})$

Bước 10.2

Nhân $2$ với $1$ .

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 2 π}{3})$

Bước 10.3

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 2 π \cdot \frac{4}{4}}{3})$

Bước 10.4

Kết hợp $2 π$ và $\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + \frac{2 π \cdot 4}{4}}{3})$

Bước 10.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π + 2 π \cdot 4}{4}}{3})$

Bước 10.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.6.1

Nhân $4$ với $2$ .

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π + 8 π}{4}}{3})$

Bước 10.6.2

Cộng $π$ và $8 π$ .

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{9 π}{4}}{3})$

Bước 10.7

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{9 π}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Bước 10.8

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.8.1

Đưa $3$ ra ngoài $9 π$ .

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 (3 π)}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Bước 10.8.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 (3 π)}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Bước 10.8.3

Viết lại biểu thức.

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 π}{4})$

Bước 11

Thay $k = 2$ vào công thức và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 \sqrt{2}$ .

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (2)}{3})$

Bước 11.2

Nhân $2$ với $2$ .

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 4 π}{3})$

Bước 11.3

Để viết $4 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 4 π \cdot \frac{4}{4}}{3})$

Bước 11.4

Kết hợp $4 π$ và $\frac{4}{4}$ .

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + \frac{4 π \cdot 4}{4}}{3})$

Bước 11.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π + 4 π \cdot 4}{4}}{3})$

Bước 11.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.6.1

Nhân $4$ với $4$ .

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π + 16 π}{4}}{3})$

Bước 11.6.2

Cộng $π$ và $16 π$ .

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{17 π}{4}}{3})$

Bước 11.7

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{17 π}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Bước 11.8

Nhân $\frac{17 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.8.1

Nhân $\frac{17 π}{4}$ với $\frac{1}{3}$ .

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{17 π}{4 \cdot 3})$

Bước 11.8.2

Nhân $4$ với $3$ .

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{17 π}{12})$

Bước 12

Liệt kê các đáp án.

$k = 0 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π}{12})$

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 π}{4})$

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{17 π}{12})$